在许多应用领域,对于给定信号,人们感兴趣的是信号在特定时间的频率成分,就像在音乐演奏中演奏者需要知道在什么时候演奏什么音调一样.小波变换是一种时频局部化的工具.它对短时高频现象如信号传输中的奇异性有更好的显微效果.

小波变换的定义: ,且 （经典的书籍上都没有添上此数值为正的条件），有

为便以计算和实际应用,对连续小波离散化,上式中令   

其中  ,有：

虽然小波函数 和 做某些特殊的选择，则 在 中可构成正交基.但满足正交、紧支条件的小波只有 小波,为加入对称性、样条函数等条件,需放宽正交,线性无关的条件,引进冗余性,同时要获得从 构造 的数值稳定的重构算法要求 能构成框架,称之为小波框架,"框架"是由一些向量组成的集合,它们可以直接而显式地表达空间中每个向量的分解.特别是满足紧支、对称、高消失矩性条件的小波框架在特定应用背景下很受人们重视.

二  框架的定义与基本性质

定义: 令H为一Hilbert 空间,如果存在两个正数A>0,B< 使得对任意的 ，有

则称 为 的一个框架,其中A,B分别为框架下,上界.

若只有右边不等式成立,则 为H的一个Bessel 序列.

性质1:   设 为一个上下界分别为A,B的框架, 若A=B,则该框架为紧框架.这时任意 ,都有 .由极化恒等式知至少在弱的意义下,上式蕴含着 .该式给出了由 恢复 的基本方法,从数值上更易处理.

当A=B=1时 构成H一正交基.

性质2   设 为一个上下界分别为A,B的框架,  ,则框架冗余度由框架界A,B度量.

(1)    若 线性无关,则 .

(2)    若 规范正交基,当且仅当A=B=1.

(3)    若 则是 冗余的,且A可解释为最小冗余因子。

性质3  设 为一个上下界分别为A,B的框架, 则框架算子 是H到 的线性算子. 用 记U的伴随:

,由 定义的对偶框架满足:

      .

和      

若框架是紧的,则

性质 4  如果 ,其中 且 不全为 ,则

      .由此知: 是 到 分解的”最简洁”的系数.

定义2.2.   一个函数族 生成 一个小波框架 ,如果存在两个正数A>0,B< ,有

若 , 是 一个紧小波框架.

定义2.3   是两个母小波族.令 ,若 , 为 的一个Bessel 列. 且满足完全重构公式 ,则( , )叫做双小波框架.

三   小波框架的构造方法

(1)  从时域出发,根据具体的应用背景,由满足特定条件的低通,高通滤波器系数组成方程组求解.从而构造出满足特定条件的小波框架.如由含有一个自由参变量的低通滤波器和三个高通滤波器的参数化公式,及参变量的一个区间,闭区间中任意一个参数都给出了一组小波紧框架. 这种构造法可对光滑性进行优化 .一般地我们可以根据具体的价值函数，从实际意义出发进行优化从而选择我们所需要的"最优"滤波器.

（2）)从频域出发,找出生成小波框架的母小波 的滤波器系数在频域的表述.常用的方法是以MRA(多分辨分析) 为基础由酉扩展原理(UEP) 和,斜扩展原理(OEP) 构造紧框架和混合扩展原理(MOEP)  构造双小波框架.以框架多分辨分析(FMRA) 为基础构造框架.

    对于小波的学习来说，个人认为如果你只是想使用小波解决工程上的一般问题的话。这个是比较容易学到手的，但是如果你自己想真正的了解小波理论的来龙去脉，更好的随心所欲的使用小波，甚至构造自己的小波，则需要下非常大的功夫，傅立叶变换和泛函分析是基本前提条件。这也是有些人说小波容易，也有人说小波难学的原因之一吧。
    对于我个人来说，一个学期的小波学习下来，虽然也花了不少精力，但是感觉现在看小波还是只在此山中，云深不之处。目前市面上的小波的书还是比较多的，纪震老师推荐的小波变换与工程应该（彭玉华）是相对来说入门比较好的一本书，每次读都会有更深的体会。同样，还有一本国防科技大学出版社出版的”实用小波分析入门”是相对来说更简单的一本书，可以让你比较容易的对小波有一个全面的理解，也是我看到的所有小波书里面个人感觉最好的一本入门书。另外，唐远炎老师的”小波分析和文字识别”也是相当不错的一本小波书籍，不过暂时我还没有详细去读它，美国斯坦福大学崔锦泰老师的”小波分析导论”也是一本网友向我推荐的书。说到小波的学习，如果不说比利时的Daubenchies博士的名著”小波十讲”是不可思议的，在我看来，这本书偏向于小波原理讲解，数学知识较多，一般人读起来可能困难会比较大，个人认为不太适合于小波入门，可以当作小波的进阶学习来使用。